π

Árjabhata (i. sz. 476-550) ind matematikus e verssel ad becslést a Ludolph-féle szám, a π (~3,14) értékére (Árjabhatíja 2.10.):

caturadhikam śatam aṣṭaguṇam dvāṣaṣṭis tathā sahasrāṇām |
ayutadvaya-viṣkambhasyāsanno vṛttapariṇāhaḥ ||

Néggyel több, mint száz (caturadhikam śatam) nyolcszorosan (aṣṭaguṇam) és (tathā) a hatvankettő (dvāṣaṣṭiḥ) ezreké (sahasrāṇām), kétszer tízezer (ayuta-dvaya) átmérőé (viṣkambhasya) közelítőleg (āsanna) a kör kerülete (vṛtta-pariṇāhaḥ).

Azaz:
Száznégyszer nyolc s még hatvankettőezer
közelítőleg a kétszer tízezer átmérőjű kör kerületét (adja).

A π a kör kerületének és átmérőjének aránya, a vers szerint ez ((104 * 8) + 62 000) / 20 000 = 3,1416 – ez négy tizedesjegyű közelítése a π-nek. Számításának módszertana ismeretlen, ám ez nem meglepő, a hindu matematika számára az eredmény, s annak gyakorlati alkalmazhatósága volt fontos, nem az eredményhez vezető út.
Jelentős még a vers āsanna (közelítőleg) szava… ebben sokan a szám irracionális voltára látnak utalást. Irracionális az a szám, mely nem írható fel egész számok hányadosaként. A π-ről az európai tudomány ezt a 18. században bizonyította be… s nyilván, egy egzakt bizonyítás más, mint a megérzés, mégis, a megjegyzés Árjabhata éleslátásáról tanúskodik.

A π-vel kapcsolatban egy másik vers is idekívánkozik. Szvámí Bháratí Krsna Tírthadzsí Mahárádzs (1884-1960) védai matematikával foglalkozó könyve közli az alábbi verset – forrásmegjelölés nélkül.

gopī-bhāgya-madhuvrāta śṛṅgīśo dadhi-sandhiga |
khala-jīvita-khātāva gala-hālā-rasaṁdhara ||

Óh, gópík imádatának joghurtjával felkent Uram! Óh, elesettek megmentője, óh Siva mestere, kérlek, oltalmazz engem!

A gopī-bhāgya-madhuvrata Krsna megszólítása: fejőslánykák örömének tej (vagy méz) özöne! A śṛṅgin jelentése csúcsos, ez Siva egyik neve is, így a śṛṅgīśaḥ Siva úr, vagy Siva ura, ám alanyesetben, helyesen talán megszólító esetben állna: śṛṅgīśa. A dadhi joghurtot jelent, dadhi-sandhiga: joghurttal felkent, szintén megszólítva. A khala-jīvita züllött, alantas, elesett életet, életmódot jelent, a khāta megtépázott, míg az av gyök jelentése oltalmaz, így a khala-jīvita-khātāva szintén megszólítás: az alantas életétől megtépázottak oltalmazója. A gala-hālā-rasaṁdhara pedig Siva megszólítása, aki a tejóceánból elsőként kiköpült folyékony (rasa) mérget (hālā) tartja (dhara) a torkában (gala).

A fordítás így:
Óh, fejőslánykák örömének mézözöne! Siva ura! Joghurttal felkent!
Az alantas szokásaikba bonyolódottak megmentője! Az ősméreg megállítója!

A vers érdekessége az, hogy az ind matematikusok által használt betűkódolás szerint a π jegyeit adja meg… kis hibával, hiszen az utolsó számjegy pontatlan.

A hosszú számok megjegyzését az ind matematikusok, asztronómusok versekkel, mantrákkal segítették. Ez első pillantásra inkább bonyolításnak, mint egyszerűsítésnek tűnik, ám nagyon gyakorlatias volt abban az időben, mikor még fejben és írásban számoltak, nem kalkulátorral. Például a csillagászatban gyakran előfordult, ugyanazzal a nagy számmal való többszöri osztás… és mert az osztásnál egyszerűbb művelet a szorzás, a gyakran használt osztók reciprokát jegyezték meg e módszerrel, s azzal szoroztak.
A kaṭapayādi kódolás egyszerű: minden szótag a mássalhangzójának számértékét hordozza, ha mássalhangzótorlódás van a szótagban, akkor a torlódás utolsó mássalhangzójának számértékét. A mássalhangzók számértékeit pedig úgy kapjuk meg, ha a szanszkrt ábc mássalhangzóit sorban egymás alá írjuk, és alkalmazzuk az alábbi mantrát:

kādi-nava-ṭādi-nava-pādi-pañcaka-yādyaṣṭaka-kṣaḥ śūnyam
A ka-val kezdődő kilenc, a ṭa-val kezdődő kilenc, a pa-val kezdődő öt, a ya-val kezdődő nyolc, a kṣa (értéke pedig) nulla.

Az ábc (ka, kha, ga, gha…) mássalhangzóit a mantra szerint oszlopokba rendezve az alábbi kódtáblát kapjuk:

1	ka	ṭa	pa	ya
2	kha	ṭha	pha	ra
3	ga	ḍa	ba	la
4	gha	ḍha	bha	va
5	ṅa	ṇa	ma	śa
6	ca	ṭa		ṣa
7	cha	tha		sa
8	ja	da		ha
9	jha	dha
0	ña	na		kṣa

A táblázatba beírtam a mantra által nem említett ña és na mássalhangzókat is – ezek értéke is nulla –, s a teljesség kedvéért meg kell említsük, hogy e versek olvasásakor azon szótagok számértékét is nullának tekintik, melyekben nincs mássalhangzó.

A gopī-bhāgya vers szótagjaihoz a táblázat szerint a következő számjegyek tartoznak:

gopī-bhāgya-madhuvrata śṛṅgīśo-dadhi-sandhiga khala-jīvita-khātāva gala-hālā-rasaṁdhara

31-41-5926 535-89-793 23-846-264 33-83-2792

Az első 31 jegy a π értékét adja, ám az utolsó jegy helyesen 5 volna, s nem 2.

Figyelemreméltó továbbá, hogy fenti példától eltérően, a kaṭapayādi versek gyakran jobbról balra, azaz fordított sorban adják meg a számjegyeket. A Karaṇa-paddhati (Puthumana Somayaji kéralai matematikus csillagászatról szóló könyve a 15. századból) című műben így adja meg a kör kerületének és átmérőjének arányát: caṇḍāṃśu-candrādhama-kuṁbhipāla (a forrósugarú (Nap) és a Hold együttállásának elefánt-őre). A szótagokhoz tartozó számjegyek balról jobbra haladó sorban: 63562951413, melyek a π számjegyeit adják fordított sorban.